Question

13．已知曲线$\frac{y^2}{b}$-$\frac{x^2}{a}$=1（a•b≠0且a≠b）与直线x+y-2=0相交于P，Q两点，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0（O为原点），则$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先设p（x₁，y₁）；Q（x₂，y₂），根据题设条件k_op*k_oq=-1即；y₁y₂=-x₁x₂直线方程与双曲线方程联立，求得x₁+x₂=和x₁x₂的表达式，代入y₁y₂=-x₁x₂求得答案．

解答 解：设p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，
∴k_op*k_oq=-1即；y₁y₂=-x₁x₂
联立直线x+y-2=0和曲线$\frac{y^2}{b}$-$\frac{x^2}{a}$=1两方程可得：（a-b）x²-4ax+4a-ab=0，
x₁+x₂=$\frac{4a}{a-b}$，x₁x₂=$\frac{4a-ab}{a-b}$，
y₁y₂=（2-x₁）（2-x₂）=4-2（x₁+x₂）+x₁x₂=-x₁x₂
即4-2•$\frac{4a}{a-b}$+$\frac{4a-ab}{a-b}$=-$\frac{4a-ab}{a-b}$，
即ab=2a-2b，
则$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-b}{ab}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生综合分析问题的能力，属于中档题．