Question

6．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{{a_n}+4}}$（n∈N^*）．
（1）求a₂、a₃的值；
（2）求{a_n}的通项公式a_n；
（3）设b_n=（4ⁿ-1）•$\frac{n}{2^n}$•a_n，记其前n项和为T_n，若不等式2^n-1λ＜2^n-1T_n+$\frac{3n}{2}$对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，代入可得求a₂、a₃的值；
（2）由数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{{a_n}+4}}$可得{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}是首项为$\frac{4}{3}$，公比为4的等比数列，即可得出{a_n}的通项公式a_n；
（3）由（2）可知：b_n，利用“错位相减法”即可得出T_n，利用不等式2^n-1λ＜2^n-1T_n+$\frac{3n}{2}$对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

解答 解：（1）由题意，代入可得a₂=$\frac{1}{5}$，a₃=$\frac{2}{21}$；
（2）∵a_n+1=$\frac{a_n}{{{a_n}+4}}$，
∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_n}+4}}{a_n}=\frac{4}{a_n}+1$，
∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{3}=4（{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{3}}）\\∴数列\left\{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{3}}\right\}是以\frac{4}{3}为首项，4为公比的等比数列\\∴\frac{1}{a_n}+\frac{1}{3}=\frac{4^n}{3}∴{a_n}=\frac{3}{{{4^n}-1}}（{（7分）}）\\（3）代入{a_n}可得{b_n}=\frac{3n}{2^n}，由错位相减法可得{T_n}=6-\frac{6+3n}{2^n}\\∵{2^{n-1}}λ＜{2^{n-1}}{T_n}+\frac{3}{2}n，代入分离可得λ=6-\frac{6}{2^n}\\ 由函数的单调性可得关于n的函数单调递增\\∴当n=1时，函数有最小值3$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}是首项为$\frac{4}{3}$，公比为4的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{{4}^{n}}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{4}^{n}}{3}$-$\frac{1}{3}$，
∴a_n=$\frac{3}{{4}^{n}-1}$；
（3）b_n=（4ⁿ-1）•$\frac{n}{2^n}$•a_n=$\frac{3n}{{2}^{n}}$，
T_n=3（$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$），
∴$\frac{1}{2}$T_n=3（$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$），
两式相减得$\frac{1}{2}$T_n=3（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$）=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$），
∴2^n-1T_n=3（2ⁿ-1-$\frac{n}{2}$），
∵不等式2^n-1λ＜2^n-1T_n+$\frac{3n}{2}$对一切n∈N^*恒成立，
∴2^n-1λ＜3（2ⁿ-1），
∴λ＜3（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$），∴λ＜3．

点评 熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式、“错位相减法”等是解题的关键．