Question

7．如果对一切实数x、y，不等式$\frac{y}{4}$-cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{4}{3}$]
• B． [3，+∞）
• C． [-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]
• D． [-3，3]

Answer 1

分析 将不等式$\frac{y}{4}$-cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立转化为$\frac{y}{4}$+$\frac{9}{y}$≥asinx+1-sin²x恒成立，构造函数f（y）=$\frac{y}{4}$+$\frac{9}{y}$，利用基本不等式可求得f（y）_min=3，于是问题转化为asinx-sin²x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx=0三类讨论，
可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．

解答 解：?实数x、y，不等式$\frac{y}{4}$-cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立?$\frac{y}{4}$+$\frac{9}{y}$≥asinx+1-sin²x恒成立，
令f（y）=$\frac{y}{4}$+$\frac{9}{y}$，
则asinx+1-sin²x≤f（y）_min，
当y＞0时，f（y）=$\frac{y}{4}$+$\frac{9}{y}$≥2$\sqrt{\frac{y}{4}•\frac{9}{y}}$=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）_min=3；
当y＜0时，f（y）=$\frac{y}{4}$+$\frac{9}{y}$≤-2$\sqrt{（-\frac{y}{4}）•（-\frac{9}{y}）}$=-3（当且仅当y=-6时取“=”），f（y）_max=-3，f（y）_min不存在；
综上所述，f（y）_min=3．
所以，asinx+1-sin²x≤3，即asinx-sin²x≤2恒成立．
①若sinx＞0，a≤sinx+$\frac{2}{sinx}$恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+$\frac{2}{t}$（0＜t≤1），则a≤g（t）_min．
由于g′（t）=1-$\frac{2}{{t}^{2}}$＜0，
所以，g（t）=t+$\frac{2}{t}$在区间（0，1]上单调递减，
因此，g（t）_min=g（1）=3，
所以a≤3；
②若sinx＜0，则a≥sinx+$\frac{2}{sinx}$恒成立，同理可得a≥-3；
③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；
综合①②③，-3≤a≤3．
故选：D．

点评 本题考查恒成立问题，将不等式$\frac{y}{4}$-cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立转化为$\frac{y}{4}$+$\frac{9}{y}$≥asinx+1-sin²x恒成立是基础，令f（y）=$\frac{y}{4}$+$\frac{9}{y}$，求得f（y）_min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．