Question

8．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+e^x-xe^x
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[-2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，讨论x＞0，x＜0，导数的符号，注意运用指数函数的单调性，求出单调区间；
（2）当x∈[-2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，即为当x∈[-2，2]时，f（x）_min＞m，由（1）即可求出最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+e^x-xe^x．
∴f（x）的定义域为R，
f'（x）=x+e^x-（e^x+xe^x）=x（1-e^x），
当x＜0时，1-e^x＞0，f'（x）＜0；当x＞0时，1-e^x＜0，f'（x）＜0
∴f（x）在R上为减函数，
即f（x）的单调递减区间为（-∞，+∞）．
（2）当x∈[-2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，
即为当x∈[-2，2]时，f（x）_min＞m．
由（1）可知，f（x）在[-2，2]上单调递减，
∴f（x）_min=f（2）=2-e²，
∴m＜2-e²时，不等式f（x）＞m恒成立．

点评 本题考查导数的综合应用：求单调区间、求最值，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．