Question

3．如图，正方体ABCD一A₁B₁C₁D₁的棱长为2，动点E，F在棱A₁B₁上，且EF=1，动点Q在棱CD上，P是棱AD中点，R是棱DD_l的中点，则以下结论：
①四面体PEFQ的体积为定值；
②异面直线PE与QF的所成角的大小为定值；
③过P点有且只有一条直线与直线BB₁和C₁D₁都平行；
④过P点有且只有一个平面与直线BB₁和C₁D₁都平行；
⑤过点B，P，R的平面截该正方体所得的截面是五边形．
其中正确结论的序号是①④．

Answer 1

分析 根据正方体的几何特征，逐一分析五个命题的真假，可得答案．

解答 解：∵CD∥平面EFP，
∴Q到平面EFP的距离等于D到平面EFP的距离$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
而S_△EFP=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴V_Q-EFP=$\frac{1}{3}$
故①正确，
建立如图所示的坐标系，

设E点坐标为（2，m，2），F点坐标为（2，m+1，2），
则$\overrightarrow{PE}$=（1，m，2），$\overrightarrow{QF}$=（2，m，2），
故异面直线PE与QF的所成角的余弦值为：$\frac{{m}^{2}+6}{\sqrt{5+{m}^{2}}\sqrt{8+{m}^{2}}}$不是常量，
故②异面直线PE与QF的所成角的大小为定值，错误；
直线BB₁和C₁D₁不平行；
故③过P点有且只有一条直线与直线BB₁和C₁D₁都平行，错误；
过P点有且只有一个平面与前后表面都平行的平面直线BB₁和C₁D₁都平行；
故④正确；
过点B，P，R的平面与前表面和上表面不相交，
故该平面截该正方体所得的截面是四边形，
故⑤错误．
故答案为：①④

点评 本题以命题的真假与应用为载体，考查了正方体的几何特征，棱锥的体积，异面直线夹角，空间直线与平面关系，难度中档．