Question

5．已知函数f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$（x∈R）时，则下列所有正确命题的序号是①②③．
①若任意x∈R，则等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
②存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实数根；
③任意x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）
④存在k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点．

Answer 1

分析 根据奇函数的定义判断①，根据函数的图象判断②③④

解答 解：f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$（x∈R）的图象为
对于①，函数的定义域为R，f（-x）=$\frac{-x}{1+|-x|}$=-$\frac{x}{1+|x|}$=-f（x），
f（x）+f（-x）=0恒成立，故①正确，
对于②，由图象可知，函数的值域为（-1，1），
故存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实数根，故②正确，
对于③由图象可知，函数在R上单调递增，故任意x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正确，
对于④，分别画出y=f（x）与y=kx的图象，由图象可知，使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有一个零点，故④错误，

故答案为：①②③

点评 本题考查了函数图象及其性质，关键是绘制函数图象，属于中档题．