Question

13．求证：函数f（x）=$\frac{x+a}{x+1}$（a＞1）在区间（-1，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析 根据函数单调性的定义证明即可．

解答 解：设?x₁，x₂∈（-1，+∞）且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}+a}{{x}_{1}+1}$-$\frac{{x}_{2}+a}{{x}_{2}+1}$=$\frac{（1-a）{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$，
∵${x_1}，{x_2}∈（-1，+∞），且{x_1}＜{x_2}\\$，
∴${x_1}+1＞0，{x_2}+1＞0，{x_1}-{x_2}＜0\\ \begin{array}{l}{又}&{\;}\end{array}a＞1\\$，
∴$1-a＜0\\$，
∴$\frac{{（1-a）（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}＞0，即f（{x_1}）-f（{x_2}）＞0\\$，
∴$f（{x_1}）＞f（{x_2}）\\，故函数f（x）在区间（-1，+∞）是减函数．\end{array}$．

点评 本题考查了函数单调性的定义，是一道基础题．