Question

5．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，?x∈R，f（x-1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1）且x₁≠x₂时，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0．给出下列命题：
①f（1）=0；
②f（x）在[-2，2]上有5个零点；
③直线x=2 016是函数y=f（x）图象的一条对称轴．
④点（2 016，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心；
则正确命题的序号是①②④．

Answer 1

分析 根据已知，分析出函数的周期和单调性，进而画出满足条件的函数的草图，逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答 解：当x∈（0，1）且x₁≠x₂时，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0．
即此时函数为减函数，
?x∈R，f（x-1）=f（x+1）成立，
即函数是T=2的周期函数，
又由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
函数y=f（x）的草图如下所示：

由图可知：
f（1）=0，故①正确；
f（x）在[-2，2]上有：-2，-1，0，1，2，共5个零点，即②正确；
函数y=f（x）图象无对称轴，故③错误；
所有（k，0）（k∈Z）点均为函数的对称中心，故（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，故④正确；
故答案为：①②④

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的周期性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．