Question

17．如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为45°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，∠COD=60°．
（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）求轴OP与平面PCD所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （1）设面PAB∩面PCD=直线m，由线面平行的判定得AB∥面PCD，再由线面平行的性质得AB∥直线m，进一步得到直线m∥面ABCD；
（2）设CD的中点为M，连接OM、PM，可得OP在平面PCD上的射影在PM上，然后求解直角三角形可得轴OP与平面PCD所成的角的正切值．

解答 （1）证明：设面PAB∩面PCD=直线m，
∵AB∥CD，且CD?平面PCD，∴AB∥面PCD，得AB∥直线m，
∵AB?面ABCD，∴直线m∥面ABCD．
∴面PAB与面PCD的公共交线平行底面ABCD；
（2）解：设CD的中点为M，连接OM、PM，
∵OC=OD，∴OM⊥CD，
设OD=r，则$OM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}r$，
又OP⊥平面OCD，∴OP⊥CD，
又OP∩OM=O，∴CD⊥平面OPM，
过O作OH⊥PM，垂足为H，则CD⊥OH，
又OH∩PM=H，∴OH⊥平面PCD，
∴OP在平面PCD内的射影为PH，
则∠OPH为轴OP与平面PCD所成的角的平面角，
又母线与底面所成的角为45°，即∠ODP=45°，∴OP=OD=r，
在直角△POM中，$tan=∠OPM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
而∠OPM=∠OPH，∴轴OP与平面PCD所成的角的正切值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．