Question

12．已知f（x）是定义在R上的函数，若对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0，有f（x）＞0．
（1）求证：f（0）=0；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）直接令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）即可；
（2）令x=-y，所以有f（0）=f（x）+f（-x），即证明为奇函数；
（3）直接利用函数的单调性定义证明即可；

解答 解：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，
∴f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
（2）由f（x+y）=f（x）+f（y），令x=-y，
∴f（0）=f（x）+f（-x），
即f（-x）=-f（x），且f（0）=0，
∴f（x）是奇函数．
（3）f（x）在R上是增函数．
证明：在R上任取x₁，x₂，并且x₁＞x₂，
∴f（x₁-x₂）=f（x₁）-f（x₂）．
∵x₁＞x₂，即x₁-x₂＞0，
∴f（x₁-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在R上是增函数．

点评 本题主要考查了抽象函数的数值证明、函数单调性与奇偶性定义，属基础题．