Question

2．已知抛物线E：y²=2px焦点为F，准线为l，P为l上任意点．过P作E的一条切线，切点分别为Q．
（1）若过F垂直于x轴的直线交抛物线所得的弦长为4，求抛物线的方程；
（2）求证：以PQ为直径的圆恒过定点．

Answer 1

分析 （1）代入x=$\frac{p}{2}$得弦长为|2p|，求出p，可得抛物线的方程；
（2）由对称性可知：该点必在x轴上，设M（m，0），设Q（$\frac{1}{4}{{y}_{0}}^{2}$，y₀），P（-1，t），则切线为yy₀=2x+$\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{2}$，求得t=$\frac{1}{2}$y₀-$\frac{2}{{y}_{0}}$，根据：$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=0，即可求得m的值．

解答 解：（1）代入x=$\frac{p}{2}$得弦长为|2p|，∴p=±2，∴y²=±4x；
（2）证明：由对称性可知：该点必在x轴上，设M（m，0），
设Q（$\frac{1}{4}{{y}_{0}}^{2}$，y₀），P（-1，t），则切线为yy₀=2x+$\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{2}$，
∴t=$\frac{1}{2}$y₀-$\frac{2}{{y}_{0}}$，
由题意可知：$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=0，即（m-$\frac{1}{4}{{y}_{0}}^{2}$）（m+1）+y₀•（$\frac{1}{2}$y₀-$\frac{2}{{y}_{0}}$）=0，
整理得：（m²+m-2）+$\frac{1}{4}{{y}_{0}}^{2}$（1-m）=0
∴m=1，
∴恒过点M（1，0）．

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．