Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}，x≤a\\ 2x+3，x＞a\end{array}$，若方程f（x）+2x-8=0恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[-4，\frac{5}{4}]∪[2，+∞）$
• B． [-4，2]
• C． $（\frac{5}{4}，2]$
• D． $[{-4，\frac{5}{4}}]$

Answer 1

分析 函数f（x）的图象与函数y=-2x+8共有两个交点，可能为：两个交点均为y=-2x+8与二次函数y=x²的交点，也可能为：两个交点为y=-2x+8与y=2x+3的交点，另一个是y=-2x+8与二次函数y=x²的交点，进而得到答案．

解答 解：y=x²与y=-2x+8共有两个交点（-4，16），（2，4），
y=2x+3与y=-2x+8有一个交点（$\frac{5}{4}$，$\frac{11}{2}$），
若方程f（x）+2x-8=0恰有两个不同实根，
则函数f（x）的图象与函数y=-2x+8共有两个交点，
若两个交点均为y=-2x+8与二次函数y=x²的交点，则a≥2，
若两个交点为y=-2x+8与y=2x+3的交点，另一个是y=-2x+8与二次函数y=x²的交点，则-4≤a≤$\frac{5}{4}$，
综相所述，a∈$[-4，\frac{5}{4}]∪[2，+∞）$，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，分段函数的应用，难度中档．