Question

12．{a_n}是各项均为正数的等差数列，{b_n}是等比数列，已知$\frac{a_1}{b_1}$=$\frac{a_2}{b_2}$=1，$\frac{a_3}{b_3}$=$\frac{8}{9}$，那么$\frac{a_4}{b_4}$=（　　）

• A． $\frac{20}{27}$
• B． $\frac{16}{27}$
• C． $\frac{4}{9}$
• D． $\frac{20}{27}$或$\frac{16}{27}$

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，解得q的值，求出b₄，再根据已知条件求出d，则可得到a₄，则答案可求．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
则a₁+d=a₁q，$9（{a}_{1}+2d）=8{a}_{1}{q}^{2}$，联立可得8q²-18q+9=0，
解得：q=$\frac{3}{2}$或q=$\frac{3}{4}$．
∵{a_n}是各项均为正数，则d＞0，∴q＞1，
则$q=\frac{3}{2}$，
∴${b}_{4}={a}_{1}×（\frac{3}{2}）^{3}=\frac{27}{8}{a}_{1}$．
∴$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}=\frac{3}{2}{a}_{1}$．
则$d=\frac{3}{2}{a}_{1}-{a}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}$．
∴${a}_{4}={a}_{1}+3d=\frac{5}{2}{a}_{1}$．
∴$\frac{a_4}{b_4}$=$\frac{\frac{5}{2}{a}_{1}}{\frac{27}{8}{a}_{1}}=\frac{20}{27}$．
故选：A．

点评 本题考查了等差等比数列的通项公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于中档题．