Question

4．已知双曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}$（α为参数），再以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10．
（1）求曲线C₁的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若点M在曲线C₁上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）由cos²α+sin²α=1求得曲线C₁的普通方程$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，由y=ρsinθ，x=ρcosθ，曲线C₂的直角坐标方程x+2y=10；
（2）使用参数坐标求出点M到曲线C的距离，得到关于θ的三角函数，利用三角函数的性质求出距离的最值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}$（α为参数），得$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
曲线C₁的普通方程$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∵y=ρsinθ，x=ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程x+2y=10；
（2）设M（3cosθ，2sinθ），则距离d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-10|}{\sqrt{5}}$≥$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查参数方程与普通方程的转化，将极坐标方程转化成直角坐标方程，考查直线与圆的交点问题，属于基础题．