Question

19．已知f（x）是定义在实数集上的函数，当x∈（0，1]时，f（x）=2^x，且对任意x都有f（x+1）=$\frac{1-2f（x）}{2-f（x）}$，则f（log₂5）=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 根据当x∈（0，1]时，f（x）=2^x，先求f（log₂5-2）的值，进而根据f（x+1）=$\frac{1-2f（x）}{2-f（x）}$迭代可得答案．

解答 解：∵log₂5∈（2，3），
∴log₂5-2∈（0，1），
又∵当x∈（0，1]时，f（x）=2^x，
∴f（log₂5-2）=$\frac{5}{4}$，
又∵对任意x都有f（x+1）=$\frac{1-2f（x）}{2-f（x）}$，
∴f（log₂5-1）=$\frac{1-2f（{log}_{2}5-2）}{2-f（{log}_{2}5-2）}$=$\frac{1-2×\frac{4}{5}}{2-\frac{4}{5}}$=-$\frac{1}{2}$
f（log₂5-2）=$\frac{1-2f（{log}_{2}5-1）}{2-f（{log}_{2}5-1）}$=$\frac{1+2×\frac{1}{2}}{2+\frac{1}{2}}$=$\frac{4}{5}$，
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数求值，难度中档．