Question

9．已知函数f（x）=ln（1+x）-x+$\frac{1}{2}$kx²．
（1）当k=2时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，可得曲线f（x）在点（1，f（1））处切线方程；
（2）求导，分类讨论，利用导数的正负讨论f（x）的单调性．

解答 解：（1）k=2时，f（x）=ln（1+x）-x+x²，f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1+2x
由于f（1）=ln（2），f′（1）=$\frac{3}{2}$，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
y-ln2=$\frac{3}{2}$（x-1）．即3x-2y+2ln2-3=0
（2）f'（x）=$\frac{x（kx+k-1）}{1+x}$，x∈（-1，+∞）
当k=0时，f′（x）=-$\frac{x}{1+x}$，
因此在区间（-1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；
所以f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）；
当0＜k＜1时，f′（x）=$\frac{x（kx+k-1）}{1+x}$=0，得x₁=0，x₂=$\frac{1-k}{k}$＞0；
因此，在区间（-1，0）和（$\frac{1-k}{k}$，+∞）上，f'（x）＞0；在区间（0，$\frac{1-k}{k}$）上，f'（x）＜0；
即函数f（x）的单调递增区间为（-1，0）和（$\frac{1-k}{k}$，+∞），单调递减区间为（0，$\frac{1-k}{k}$）；
当k=1时，f′（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+x}$．f（x）的递增区间为（-1，+∞）
当k＞1时，由f′（x）=$\frac{x（kx+k-1）}{1+x}$=0，得x₁=0，x₂=$\frac{1-k}{k}$∈（-1，0）；
因此，在区间（-1，$\frac{1-k}{k}$）和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间（$\frac{1-k}{k}$，0）上，f'（x）＜0；
即函数f（x）的单调递增区间为（-1，$\frac{1-k}{k}$）和（0，+∞），单调递减区间为（$\frac{1-k}{k}$，0）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．