Question

14．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F，G，H分别是AB，AC，A₁B₁，A₁C₁的中点，求证：
（1）平面EFA₁∥平面BCHG；
（2）BG、CH、AA₁三线共点．

Answer 1

分析 （1）由已知条件条件出EF∥平面BCGH，A₁E∥平面BCHG，由此能证明平面平面EFA₁∥平面BCHG；
（2）BG与CH必相交，设交点为P，证明P∈直线AA₁，即可证明BG、CH、AA₁三线共点．

解答 证明：（1）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG．
∵A₁G与EB平行且相等，
∴四边形A₁EBG是平行四边形，
∴A₁E∥GB，
∵A₁E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
∴A₁E∥平面BCHG．
∵A₁E∩EF=E，∴平面EFA₁∥平面BCHG．
（2）∵GH∥BC，GH＜BC，
∴BG与CH必相交，
设交点为P，
则由P∈BG，BG?平面BAA₁B₁，得P∈平面BAA₁B₁，
同理P∈平面CAA₁C₁，
又平面BAA₁B₁∩平面CAA₁C₁=AA₁，
∴P∈直线AA₁，∴BG、CH、AA₁三线共点．

点评 本题考查平面与平面平行的证明，考查直线位置关系，是中档题，