Question

6．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，若双曲线上存在点P，使得|PF₁|=3|PF₂|，则此双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，3]
• B． [3，+∞）
• C． （1，2]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2|PF₂|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，可得|PF₂|≥c-a，从而求得此双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：∵|PF₁|=3|PF₂|，
∴由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2|PF₂|=2a，
∴|PF₂|=a，
∵点P在双曲线的右支上，
∴|PF₂|≥c-a，
∴a≥c-a，即2a≥c，
∴e=$\frac{c}{a}$≤2，
∵e＞1，
∴1＜e≤2，
∴双曲线的离心率e的取值范围为（1，2]．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．