Question

15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|，则下列不等式一定成立的是（　　）

• A． f（ cos$\frac{2π}{3}$）＞f（sin$\frac{2π}{3}$）
• B． f（sin 1）＜f（cos 1）
• C． f（sin$\frac{π}{6}$）＜f（cos$\frac{π}{6}$）
• D． f（cos 2）＞f（sin 2）

Answer 1

分析 根据定义可知f（x+2）=f（x），得出函数的周期，观察选项，将区间[1，3]分解为[1，2]和（2，3]两部分，去绝对值讨论出函数的单调性，再观察题设条件与选项．选项中的数都是（-1，1）的数，故利用f（x）=f（x+2）找出函数在（-1，1）上的单调区间，用单调性比较大小．

解答 解：∵f（x+2）=f（x），
∴函数的周期为2，
∵当x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|，
∴x∈[1，2]时，f（x）=x，故函数f（x）在[1，2]上是增函数，x∈（2，3]时，f（x）=4-x，故函数f（x）在[2，3]上是减函数，
又定义在R上的f（x）满足f（x）=f（x+2），故函数的周期是2
所以函数f（x）在（-1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，
观察四个选项：A选项中 f（cos$\frac{2π}{3}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{2}{3}$，f（sin$\frac{2π}{3}$）=f（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=f（2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故A不对；
B选项中0＜cos1＜sin1＜1，故B为真命题；
C选项中sin $\frac{π}{6}$＜cos $\frac{π}{6}$＜1，故C为假命题；
D选项中 f（cos2）=2-cos2＞2＞f（sin2）=2-sin2   
综上，选项B是正确的．
故选：B．

点评 考查了抽象函数周期性的判断和利用周期性求函数的解析式，利用单调性解决问题．