Question

19．如图，圆O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交圆O于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P，连接BC，CN．
（1）求证：∠BCN=∠PMN；
（2）若∠BCN=60°，PM=1，求OM的长．

Answer 1

分析 （1）连接ON，则ON⊥PN，由半径相等可得OB=ON，可得∠OBM=∠ONB，利用切线的性质和已知可得∠BOM=∠ONP=90°，进而可得∠PMN=∠PNM，再利用切割线定理即可证明；
（2）证明△PMN为等边三角形，得到MN=PM=1．设圆的半径为r，则在△BOM中，OB=r，OM=$\frac{r}{\sqrt{3}}$，MB=$\frac{2r}{\sqrt{3}}$，根据相交弦定理MB•MN=MA•MC，即可得出结论．

解答 （1）证明：连接ON，则ON⊥PN，∵OB=ON，∴∠OBM=∠ONB，
∵PN是⊙O的切线，∴ON⊥NP．
∵BO⊥AC，
∴∠BOM=∠ONP=90°，∴∠OMB=∠MNP．
又∠BMO=∠PMO，∴∠PNM=∠PMN，
∵∠BCN=∠PNM，
∴∠BCN=∠PMN；
（2）解：∵∠PNM=∠PMN=∠BCN=60°，
∴△PMN为等边三角形，
∴MN=PM=1．
设圆的半径为r，则在△BOM中，OB=r，OM=$\frac{r}{\sqrt{3}}$，MB=$\frac{2r}{\sqrt{3}}$
根据相交弦定理MB•MN=MA•MC，
可得$\frac{2r}{\sqrt{3}}×1=（r-\frac{r}{\sqrt{3}}）（r+\frac{r}{\sqrt{3}}）$，∴r=$\sqrt{3}$，
∴OM=1．

点评 本题考查圆的切割线定理、相交弦定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．