Question

13．公园里有一扇形湖面，管理部门打算在湖中建一三角形观景平台，希望面积与周长都最大．如图所示扇形AOB，圆心角AOB的大小等于$\frac{π}{3}$，半径为2百米，在半径OA上取一点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．设∠COP=θ；
（1）求△POC面积S（θ）的函数表达式．
（2）求S（θ）的最大值及此时θ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得∠CPO=∠POB=$\frac{π}{3}$-θ，利用正弦定理可求CP=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ，OC=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），利用三角形面积公式即可得解．
（2）由三角函数恒等变换的应用化简可得S（θ）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，利用正弦函数的图象和性质可求S（θ）的最大值及此时θ的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵CP∥OB，
∴∠CPO=∠POB=$\frac{π}{3}$-θ，
在△POC中，由正弦定理得：$\frac{OP}{sin∠PCO}$=$\frac{CP}{sinθ}$，即$\frac{2}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{CP}{sinθ}$，
∴CP=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ，
又∵$\frac{OC}{sin（\frac{π}{3}-θ）}$=$\frac{OP}{sin\frac{2π}{3}}$，
∴OC=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）．----------4分
于是S（θ）=$\frac{1}{2}$CP•OC•$\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}×$$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ×$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ•sin（$\frac{π}{3}$-θ），-----------------------------------------------------------6分
（2）由（1）知S（θ）=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ•sin（$\frac{π}{3}$-θ）
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ）
=2sinθcosθ-$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin²θ
=sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos2θ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$时，S（θ）取得最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．---------------------------------12分．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．