Question

18．焦点在x轴上的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆与A，B两点，且|AB|=1，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{15}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Answer 1

分析 由焦点在x轴的椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，焦点在x轴上，即a²＞1，c²=a²-1，c=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆与A，B两点，丨AB丨为椭圆的通径，则∴|AB|=2丨y丨=1，即可求得a的值，则c=$\sqrt{{a}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：焦点在x轴的椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，焦点在x轴上，
即a²＞1，c²=a²-1，c=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
右焦点F（$\sqrt{{a}^{2}-1}$，0），
过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆与A，B两点，
AB为椭圆的通径，
∴当x=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，解得：y=±$\frac{1}{a}$，
∴|AB|=2丨y丨=1，即$\frac{2}{a}$=1，解得：a=2，
则c=$\sqrt{{a}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选A．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的焦点坐标公式，考查椭圆通径的应用，考查计算能力，属于基础题．