Question

7．已知函数f（x）=x${\;}^{-2{m}^{2}+m+3}$（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=log_a（f（x）-ax+2）在区间（1，+∞）上恒为正值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据幂函数的定义以及函数的奇偶性求出f（x）的解析式即可；
（2）问题转化为a＞1，且x²-ax+2＞1在区间（1，+∞）上恒成立，即h（x）=x²-ax+2=${（x-\frac{a}{2}）}^{2}$+2-$\frac{{a}^{2}}{4}$＞1恒成立，其中x∈（1，+∞），通过讨论a，结合函数的单调性求出a的具体范围即可．

解答 解：（1）由条件幂函数f（x）=${x}^{-{2m}^{2}+m+3}$在（0，+∞）上为增函数，
得到-2m²+m+3＞0，
解得：-1＜m＜$\frac{3}{2}$ …（2分）
又因为m∈Z，所以m=0或1；
又因为是偶函数
当m=0时，f（x）=x³，f（x）为奇函数，不满足；
当m=1时，f（x）=x²，f（x） 为偶函数，满足；
所以f（x）=x²…（4分）
（2）由题意a＞1，且x²-ax+2＞1在区间（1，+∞）上恒成立．
即h（x）=x²-ax+2=${（x-\frac{a}{2}）}^{2}$+2-$\frac{{a}^{2}}{4}$＞1恒成立，其中x∈（1，+∞）…（6分）
当1＜a≤2时，$\frac{a}{2}$≤1，所以h（x）在区间（1，+∞）单调递增，
所以，h（x）＞3-a，∴3-a＞1即1＜a≤2适合题意．…（8分）
当a＞2时$\frac{a}{2}$＞1，g（x）=x²-ax+2=${（x-\frac{a}{2}）}^{2}$+2-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥2-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴2-$\frac{{a}^{2}}{4}$＞1，∴a²＜4与a＞2矛盾，不合题意．
综上可知：1＜a≤2…（10分）

点评 本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．