Question

12．曲线C：y²=12x，直线l：y=k（x-4），l与C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求x₁x₂；
（2）若|AB|=4$\sqrt{42}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）联立方程组，利用韦达定理求解即可．
（2）利用（1）结合弦长公式求解即可．

解答 解：（1）曲线C：y²=12x，直线l：y=k（x-4），消去y可得k²（x-4）²-12x=0，
即：k²x²-（8k²+12）x+16k²=0，l与C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
可得x₁x₂=$\frac{16{k}^{2}}{{k}^{2}}$=16．
（2）由（1）可得：x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}+12}{{k}^{2}}$，
|AB|=4$\sqrt{42}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{8{k}^{2}+12}{{k}^{2}}）^{2}-64}$；
解得k=±1，
直线l：y=±（x-4），即x-y-4=0或x+y-4=0．

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．