Question

9．某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax²图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：
（1）求证：b=-$\frac{{k}^{2}}{8}$；
（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据函数y=ax²过点D，求出解析式y=2x²；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y={2x}^{2}}\end{array}\right.$消去y，利用△=0证明结论成立；
（2）①写出点P的坐标（t，2t²），代入直线MN的方程，用t表示出直线方程，
利用直线方程求出M、N的坐标；
②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），
利用基本不等式即可求出S的最大值．

解答 （1）证明：函数y=ax²过点D（1，2），
代入计算得a=2，
∴y=2x²；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y={2x}^{2}}\end{array}\right.$，消去y得2x²-kx-b=0，
由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，
得△=（-k）²-4×2×b=0，
解得b=-$\frac{{k}^{2}}{8}$；
（2）解：设点P的横坐标为t，则0＜t＜1，
∴点P（t，2t²）；
①直线MN的方程为y=kx+b，
即y=kx-$\frac{{k}^{2}}{8}$过点P，
∴kt-$\frac{{k}^{2}}{8}$=2t²，
解得k=4t；
y=4tx-2t²
令y=0，解得x=$\frac{t}{2}$，∴M（$\frac{t}{2}$，0）；
令y=2，解得x=$\frac{t}{2}$+$\frac{1}{2t}$，∴N（$\frac{t}{2}$+$\frac{1}{2t}$，2）；
②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为
S=S（t）=2×2-$\frac{1}{2}$×2×[$\frac{t}{2}$+（$\frac{t}{2}$+$\frac{1}{2t}$）]=4-（t+$\frac{1}{2t}$），其中0＜t＜1；
由t+$\frac{1}{2t}$≥2•$\sqrt{t•\frac{1}{2t}}$=$\sqrt{2}$，当且仅当t=$\frac{1}{2t}$，即t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时“=”成立，
所以S≤4-$\sqrt{2}$；即S的最大值是4-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．