Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}（x+1），x＞0}\\{-{x}^{2}-3x，x≤0}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-a有3个零点，则实数a的取值范围是（0，$\frac{9}{4}$）．

Answer 1

分析 将函数g（x）=f（x）-a有3个零点转化为y=f（x）与y=a有三个交点，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}（x+1），x＞0}\\{-{x}^{2}-3x，x≤0}\end{array}\right.$，
∴函数g（x）=f（x）-a有3个零点?
方程f（x）=a有3个根?y=f（x）与y=a有三个交点，
在同一坐标系中作出两函数的图象如下：
由图可知，当0＜a＜$\frac{9}{4}$时，y=f（x）与y=a有三个交点，即函数g（x）=f（x）-a有3个零点．
故答案为：（0，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，将函数g（x）=f（x）-a有3个零点转化为y=f（x）与y=a有三个交点是关键，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题．