Question

18．已知函数f（x）=2klnx，g（x）=x²-2kx（k∈R）
（1）设h（x）=f（x）-g（x），试讨论函数h（x）的单调性
（2）设k＞0，若函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象在区间（0，+∞）上有唯一交点，试求k的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数h（x）的导数，通过讨论k的范围判断函数的单调区间即可；
（2）问题等价于方程h（x）=f（x）-g（x）=0在区间（0，+∞）上有唯一解，根据h（x）的单调性求出k的值即可．

解答 解：（1）函数h（x）=2klnx-x²+2kx的定义域为（0，+∞），----1 分
且h′（x）=-$\frac{2}{x}$（x²-kx-k），--------（2分）
①当k≤0时，对于任意x∈（0，+∞），都有h′（x）＜0，
∴函数h（x）在（0，+∞）单调递减；-------------------（3分）
②当k＞0时，由h′（x）=0得x₁=$\frac{k-\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$，x₂=$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$，
∵k＞0，则有x₁＜0＜x₂，∴x₁＜x---------------------（4分）
∴当x∈（0，x₂）时，h′（x）＞0，当x∈（x₂，+∞）时，h′（x）＜0，
∴当k＞0时，函数h（x）在（0，$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$）上单调递增；
在（$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$，+∞）单调递减．--------------------------5
（2）函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象在区间（0，+∞）上有唯一交点，
等价于方程h（x）=0在区间（0，+∞）上有唯一解，-----------------------（6分）
由（1）可知，当k＞0时，函数h（x）在（0，$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$）上单调递增；
在（$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$，+∞）单调递减．
∴函数h（x）在x=x₂取得最大值，
∴h（x₂）=0----------------------------------（8分）
即2klnx₂-${{x}_{2}}^{2}$+2kx₂=0-----（*）
又由于h′（x₂）=0，则有${{x}_{2}}^{2}$-kx₂-k=0，代入（*）式，得
2klnx₂+kx₂-k=0-----（**）--------------------------（9分）
令F（x）=2lnx+x-1，（x＞0），
∴F′（x）=$\frac{2}{x}$+1＞0，
则F（x）在（0，+∞）单调递增，且F（1）=0．-------------------（10分）
∴x₂=1---------------------------（11分）
∴$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$=1，解得：k=$\frac{1}{2}$．---------------------（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．