Question

9．已知点P是椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的动点，F₁，F₂为椭圆的左右焦点，焦距为2c，O为坐标原点，若M是∠F₁PF₂的角平分线上的一点，且MF₁⊥MP，则OM的取值范围为（0，c）．

Answer 1

分析 利用M是∠F₁PF₂平分线上的一点，且F₁M⊥MP，判断OM是三角形F₁F₂N的中位线，把OM用PF₁，PF₂表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出OM的范围．

解答 解：如图，延长PF₂，F₁M，交与N点，∵PM是∠F₁PF₂平分线，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M为F₁N中点，
连接OM，∵O为F₁F₂中点，M为F₁N中点
∴|OM|=$\frac{1}{2}$|F₂N|=$\frac{1}{2}$||PN|-|PF₂||=$\frac{1}{2}$||PF₁|-|PF₂||
∵在椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）中，设P点坐标为（x₀，y₀）
则|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex₀-a+ex₀|=|2ex₀|=2e|x₀|
∵P点在椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上，
∴|x₀|∈（0，a]，
又∵当|x₀|=a时，F₁M⊥MP不成立，∴|x₀|∈（0，a）
∴|OM|∈（0，c）．
故答案为：（0，c）．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．