Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-（{2m+1}）{x^2}+3m（{m+2}）x+1$，其中m为实数．
（Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为3x+3y-4=0，求m的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到关于m的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的递增区间即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}f（1）=\frac{1}{3}\\ f'（1）=-1\end{array}\right.$…（2分）
所以有：$\left\{\begin{array}{l}3{m^2}+4m=0\\ 3{m^2}+2m=0\end{array}\right.$，∴m=0．…（4分）
（Ⅱ）f'（x）=x²-2（2m+1）x+3m（m+2）=（x-3m）（x-m-2）…（5分）
当3m=m+2即m=1时，f'（x）=（x-3）²≥0，所以f（x）单调递增；…（6分）
当3m＞m+2即m＞1时，由f'（x）=（x-3m）（x-m-2）＞0可得x＜m+2或x＞3m；
所以此时f（x）的增区间为（-∞，m+2）和（3m，+∞）…（8分）
当3m＜m+2即m＜1时，由f'（x）=（x-3m）（x-m-2）＞0可得x＜3m或x＞m+2；
所以此时f（x）的增区间为（-∞，3m）和（m+2，+∞）…（10分）
综上所述，当m=1时，f（x）增区间为（-∞，+∞）；
当m＞1时，f（x）的增区间为（-∞，m+2）和（3m，+∞）；
当m＜1时，f（x）的增区间为（-∞，3m）和（m+2，+∞）．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．