Question

19．已知f（x）在[-1，1]上既是奇函数又是减函数，则满足f（1-x）+f（3x-2）＜0的x的取值范围是$（{\frac{1}{2}，1}]$．

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，解不等式即可．

解答 解：∵函数y=f（x）在[-1，1]上是奇函数，
∴不等式f（1-x）+f（3x-2）＜0等价为f（1-x）＜-f（3x-2）=f（2-3x）．
又函数在[-1，1]上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤1-x≤1}\\{-1≤3x-2≤1}\\{1-x＞2-3x}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$＜x≤1．
即不等式成立的x的范围是 $（{\frac{1}{2}，1}]$．
故答案为 $（{\frac{1}{2}，1}]$．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件将函数进行转化是解决本题的关键．