Question

8．已知函数$f（x）=xlnx+\frac{1}{2}a{x^2}-1$，且f'（1）=-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）-2mx+1≤0，求m的取值范围；
（Ⅲ）证明函数y=f（x）+2x的图象在g（x）=xe^x-x²-1图象的下方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得导数，代入x=1，解方程可得a；
（Ⅱ）由题意可得xlnx-x²-2mx≤0恒成立，即：$m≥\frac{1}{2}lnx-\frac{1}{2}x$恒成立，令$h（x）=\frac{1}{2}lnx-\frac{1}{2}x$，求出h（x）的导数，单调区间，求得最大值，即可得到m的取值范围；
（Ⅲ）要证明函数y=f（x）+2x的图象在g（x）=xe^x-x²-1图象的下方，即证：f（x）+2x＜xe^x-x²-1恒成立，即证lnx≤x-1，即证：e^x-x-1＞0，令φ（x）=e^x-x-1，求得导数，得到单调性，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）易知f'（x）=lnx+1+ax，
所以f'（1）=1+a，又f'（1）=-1…（1分）
∴a=-2…（2分）
∴f（x）=xlnx-x²-1．…（3分）
（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）-2mx+1≤0，
即xlnx-x²-2mx≤0恒成立，即：$m≥\frac{1}{2}lnx-\frac{1}{2}x$恒成立…（4分）
令$h（x）=\frac{1}{2}lnx-\frac{1}{2}x$，则$h'（x）=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2}=\frac{1-x}{2x}$，…（6分）
当0＜x＜1时，$h'（x）=\frac{1-x}{2x}＞0$，所以h（x）单调递增；
当x＞1时，$h'（x）=\frac{1-x}{2x}＜0$，所以h（x）单调递减；…（8分）
∴x=1时，h（x）有最大值$h（1）=-\frac{1}{2}$，
∴$m≥-\frac{1}{2}$，即m的取值范围为$[-\frac{1}{2}，+∞）$．…（10分）
（Ⅲ）证明：要证明函数y=f（x）+2x的图象在g（x）=xe^x-x²-1图象的下方，
即证：f（x）+2x＜xe^x-x²-1恒成立，
即：lnx＜e^x-2…（11分）
由（Ⅱ）可得：$h（x）=\frac{1}{2}lnx-\frac{1}{2}x≤-\frac{1}{2}$，所以lnx≤x-1，
要证明lnx＜e^x-2，只要证明x-1＜e^x-2，即证：e^x-x-1＞0…（12分）
令φ（x）=e^x-x-1，则φ'（x）=e^x-1，
当x＞0时，φ'（x）＞0，所以φ（x）单调递增，
∴φ（x）＞φ（0）=0，
即e^x-x-1＞0，…（13分）
所以x-1＜e^x-2，从而得到lnx≤x-1＜e^x-2，
所以函数y=f（x）+2x的图象在g（x）=xe^x-x²-1图象的下方．…（14分）

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查恒成立思想的运用和参数分离方法，以及构造函数法，注意运用分析法证明不等式，属于中档题．