Question

13．如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且$FD=\sqrt{3}$．
（1）若∠BCD=60°，求证：BC⊥EF；
（2）若∠CBA=60°，求直线AF与平面FBE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）过点E作EH⊥BC于H，连接HD，证明四边形EHDF为平行四边形，可得EF∥HD，即可证明BC⊥EF；
（2）若∠CBA=60°，建立空间直角坐标系，求出平面EBF的法向量，即可求直线AF与平面FBE所成角的正弦值．

解答 （1）证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，连接HD，∴EH=$\sqrt{3}$．
∵平面ABCD⊥平面BCE，EH?平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，
∴EH⊥平面ABCD．
又∵FD⊥平面ABCD，FD=$\sqrt{3}$，∴FD∥EH，且FD=EH．
∴四边形EHDF为平行四边形，
∴EF∥HD，
在等边三角形BCD中，BC⊥DH，则BC⊥EF．
（2）解：连接HA，由（1），得H为BC中点，又∠CBA=60°，△ABC为等边三角形，
∴HA⊥BC，分别以HB，HA，HE为x，y，z轴建立空间直角坐标系H-xyz．
则B（1，0，0），F（-2，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），E（0，0，$\sqrt{3}$），A（0，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{BF}$=（-3，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BA}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BE}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AF}$=（-2，0，$\sqrt{3}$），
设平面EBF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\\{-x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$令z=1，
得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，2，1），∴直线AF与平面EBF所成角的正弦值为|$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{4+3}•\sqrt{3+4+1}}$|=$\frac{\sqrt{42}}{28}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查直线AF与平面EBF所成角的正弦值的求法，考查向量法在立体几何中的应用，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．