Question

1．已知f（x）的定义域是（0，+∞），f'（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜f'（x），则不等式${e^{-x}}f（{{x^2}+x}）＞{e^{{x^2}-2}}$f（2）的解集是（　　）

• A． （-∞，2）∪（1，+∞）
• B． （-2，1）
• C． （-∞，-1）∪（2，+∞）
• D． （-1，2）

Answer 1

分析 构造新函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，通过求导得到g（x）的单调性，所解的不等式转化为求g（x²+x）＞g（2），结合函数的单调性得到不等式，求解得答案．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，（x＞0），
∵f（x）＜f'（x），∴g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，
由${e^{-x}}f（{{x^2}+x}）＞{e^{{x^2}-2}}$f（2），得$\frac{f（{x}^{2}+x）}{{e}^{{x}^{2}+x}}＞\frac{f（2）}{{e}^{2}}$，即g（x²+x）＞g（2），
∴x²+x＞2，
解得：x＜-2或x＞1．
∴不等式${e^{-x}}f（{{x^2}+x}）＞{e^{{x^2}-2}}$f（2）的解集是（-∞，-2）∪（1，+∞）．
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造新函数g（x）是解题的关键，是中档题．