Question

6．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n满足：2S_n²-（3n²+3n-2）S_n-3（n²+n）=0，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=$\frac{a_n}{{{3^{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过令n=1，结合数列{a_n}的各项均为正数，计算即得结论；
（Ⅱ）通过对2S_n²-（3n²+3n-2）S_n-3（n²+n）=0变形可知$（{{S_n}+1}）•[{2{S_n}-3（{{n^2}+n}）}]=0$，n∈N^*，通过a_n＞0可知${S_n}=\frac{3}{2}（{{n^2}+n}）$，利用当n≥2时a_n=S_n-S_n-1计算即得结论；
（Ⅲ）利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）由$2S_n^2-（{3{n^2}+3n-2}）{S_n}-3（{{n^2}+n}）=0，n∈{N^*}$可得：$2S_1^2-（{3•{1^2}+3•1-2}）{S_1}-3（{{1^2}+1}）=0$，
又S₁=a₁，
所以a₁=3．
（Ⅱ）由$2S_n^2-（{3{n^2}+3n-2}）{S_n}-3（{{n^2}+n}）=0，n∈{N^*}$可得：$（{{S_n}+1}）•[{2{S_n}-3（{{n^2}+n}）}]=0$，n∈N^*，
又a_n＞0，所以S_n＞0，
∴${S_n}=\frac{3}{2}（{{n^2}+n}）$，
∴当n＞2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{3}{2}[{{n^2}+n-{{（{n-1}）}^2}-（{n-1}）}]=3n$，
由（Ⅰ）可知，
此式对n=1也成立，
∴a_n=3n．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得${b_n}=\frac{a_n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{3n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{n}{3^n}$，
∴${T_n}={b_1}+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+…+\frac{n-1}{{{3^{n-1}}}}+\frac{n}{3^n}$；
∴$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{3}{3^4}+…+\frac{n-1}{3^n}+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$；
∴${T_n}-\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+…+\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$，
∴$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+…+\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{{\frac{1}{3}-\frac{1}{{{3^{n+1}}}}}}{{1-\frac{1}{3}}}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3^n}}）-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{1}{2}-\frac{2n+3}{{2•{3^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{{4•{3^n}}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，错位相减法求和是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．