Question

12．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，过$P（{0，\frac{b}{2}}）$的直线l与椭圆交于A，B两点，过Q（x₀，0）（|x₀|＜a）的直线l'与椭圆交于M，N两点．
（1）当l的斜率是k时，用a，b，k表示出|PA|•|PB|的值；
（2）若直线l，l'的倾斜角互补，是否存在实数x₀，使$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{{{|{MN}|}^2}}}$为定值，若存在，求出该定值及x₀，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设直线AB的方程：$y=kx+\frac{b}{2}，A（{{x_1}{y_1}}），B（{{x_2}，{y_2}}）$，代入椭圆方程，由韦达定理${x_1}{x_2}=\frac{{-3{a^2}{b^2}}}{{4（{{a^2}{k^2}+{b^2}}）}}$，因此，由弦长公式可知：$|{PA}|•|{PB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}|•\sqrt{1+{k^2}}|{x_2}|=（{1+{k^2}}）|{{x_1}{x_2}}|=\frac{{3{a^2}{b^2}（{1+{k^2}}）}}{{4（{{a^2}{k^2}+{b^2}}）}}$，
（2）当直线MN的斜率存在时：设直线MN的方程：y=-k（x-x₀），代入椭圆方程，由韦达定理可知：${x_3}+{x_4}=\frac{{2{a^2}{k^2}{x_0}}}{{{a^2}{k^2}+{b^2}}}，{x_3}{x_4}=\frac{{{a^2}{k^2}x_0^2-{a^2}{b^2}}}{{{a^2}{k^2}+{b^2}}}$，由弦长公式求得丨MN丨，则${|{MN}|^2}=（{1+{k^2}}）•\frac{{4（{{a^2}b+{a^4}{b^2}{k^2}-{a^2}{b^2}{k^2}x_0^2}）}}{{{{（{{a^2}{k^2}+{b^2}}）}^2}}}$，$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{{{|{MN}|}^2}}}=\frac{3}{16}•\frac{{{a^2}{b^2}（{{b^2}+{a^2}{k^2}}）}}{{{a^2}{b^4}+{a^4}{b^2}{k^2}-{a^2}{b^2}{k^2}x_0^2}}=\frac{3}{16}•\frac{{{b^2}+{a^2}{k^2}}}{{{b^2}+{a^2}{k^2}-{k^2}x_0^2}}$，当x₀=0时，$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{{{|{MN}|}^2}}}=\frac{3}{16}$为常数，当直线MN的斜率不存在时：$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{{{|{MN}|}^2}}}=\frac{{\frac{{3{b^2}}}{4}}}{{4{b^2}-\frac{{4{b^2}}}{a^2}x_0^2}}，{x_0}=0$时，$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{{{|{MN}|}^2}}}=\frac{3}{16}$为定值，所以当x₀=0时，$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{{{|{MN}|}^2}}}=\frac{3}{16}$为常数．

解答 解：（1）椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，焦点在x轴上，焦距为2c，
设直线AB的方程：$y=kx+\frac{b}{2}，A（{{x_1}{y_1}}），B（{{x_2}，{y_2}}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{b}{2}}\\{{b^2}{x^2}+{a^2}{y^2}={a^2}{b^2}}\end{array}}\right.$，整理得：$（{{a^2}{k^2}+{b^2}}）{x^2}+{a^2}bkx-\frac{{3{a^2}{b^2}}}{4}=0$，
由韦达定理可知：${x_1}{x_2}=\frac{{-3{a^2}{b^2}}}{{4（{{a^2}{k^2}+{b^2}}）}}$，…（3分）
$|{PA}|•|{PB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}|•\sqrt{1+{k^2}}|{x_2}|=（{1+{k^2}}）|{{x_1}{x_2}}|=\frac{{3{a^2}{b^2}（{1+{k^2}}）}}{{4（{{a^2}{k^2}+{b^2}}）}}$，…（6分）
（2）当直线MN的斜率存在时：设直线MN的方程：y=-k（x-x₀），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-k（{x-{x_0}}）}\\{{b^2}{x^2}+{a^2}{y^2}={a^2}{b^2}}\end{array}}\right.$，可知得：$（{{a^2}{k^2}+{b^2}}）{x^2}-2{a^2}{k^2}{x_0}x+{a^2}{k^2}x_0^2-{a^2}{b^2}=0$，
则$△=4（{{a^2}{b^2}+{a^4}{b^2}{k^2}-{a^2}{b^2}{k^2}x_0^2}）＞0$，
由韦达定理可知：${x_3}+{x_4}=\frac{{2{a^2}{k^2}{x_0}}}{{{a^2}{k^2}+{b^2}}}，{x_3}{x_4}=\frac{{{a^2}{k^2}x_0^2-{a^2}{b^2}}}{{{a^2}{k^2}+{b^2}}}$，
由弦长公式可知：丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}-4{x}_{3}{x}_{4}}$，…（8分）
∴${|{MN}|^2}=（{1+{k^2}}）•\frac{{4（{{a^2}b+{a^4}{b^2}{k^2}-{a^2}{b^2}{k^2}x_0^2}）}}{{{{（{{a^2}{k^2}+{b^2}}）}^2}}}$，…（10分）
$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{{{|{MN}|}^2}}}=\frac{3}{16}•\frac{{{a^2}{b^2}（{{b^2}+{a^2}{k^2}}）}}{{{a^2}{b^4}+{a^4}{b^2}{k^2}-{a^2}{b^2}{k^2}x_0^2}}=\frac{3}{16}•\frac{{{b^2}+{a^2}{k^2}}}{{{b^2}+{a^2}{k^2}-{k^2}x_0^2}}$，…（13分）
∴当x₀=0时，$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{{{|{MN}|}^2}}}=\frac{3}{16}$为常数…（14分）
当直线MN的斜率不存在时：$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{{{|{MN}|}^2}}}=\frac{{\frac{{3{b^2}}}{4}}}{{4{b^2}-\frac{{4{b^2}}}{a^2}x_0^2}}，{x_0}=0$时，
$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{{{|{MN}|}^2}}}=\frac{3}{16}$为定值．
综上：所以当x₀=0时，$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{{{|{MN}|}^2}}}=\frac{3}{16}$为常数．…（15分）

点评 本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，考查弦长公式，韦达定理在求直线与椭圆的位置关系中的应用，考查计算能力，计算量大，综合性强，属于难题．