Question

10．已知函数$f（x）=\sqrt{4-{8^x}}$．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）若f（x）≤1，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由解析式列出不等式，由指数的运算性质求出函数的定义域，由指数函数的性质求出值域；
（2）由解析式化简f（x）≤1，利用对数函数的性质求出不等式的解集．

解答 解：（1）由题意得，4-8^x≥0，
则2^3x≤2²，即3x≤2，解得x≤$\frac{2}{3}$，
所以函数f（x）的定义域是（-∞，$\frac{2}{3}$]；
又4-8^x＜4，所以$0≤\sqrt{4-{8^x}}＜2$，
即函数f（x）的值域为[0，2）．
（2）由f（x）≤1得，$\sqrt{4-{8^x}}≤1$，
则0≤4-8^x≤1，即3≤8^x≤4，
两边取以8为底的对数，解得${log_8}3≤x≤\frac{2}{3}$，
所以不等式的解集是$[lo{g}_{8}3，\frac{2}{3}]$．

点评 本题考查了指数不等式的解法，指数运算性质，函数的定义域，以及对数、指数函数的性质，属于中档题．