Question

17．已知关于x的一元二次方程x²-2ax+a+2=0，当a为何值时，该方程：
（1）有两个不同的正根；
（2）有不同的两根且两根在（1，3）内．

Answer 1

分析 （1）方程有两个不同的正根，等价于△=4a²-4（a+2）＞0，且x₁+x₂=2a＞0、x₁•x₂=a+2＞0．由此求得a的范围．
（2）令f（x）=x²-2ax+a+2，则当$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜3}\\{△={4a}^{2}-4（a+2）＞0}\\{f（1）=3-a＞0}\\{f（3）=11-5a＞0}\end{array}\right.$ 时，满足条件，由此求得a的范围．

解答 解：（1）关于x的一元二次方程x²-2ax+a+2=0，
当△=4a²-4（a+2）＞0，且x₁+x₂=2a＞0、x₁•x₂=a+2＞0时，
即当a＞2时，该方程有两个不同的正根．
（2）令f（x）=x²-2ax+a+2，则当$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜3}\\{△={4a}^{2}-4（a+2）＞0}\\{f（1）=3-a＞0}\\{f（3）=11-5a＞0}\end{array}\right.$ 时，即2＜a＜$\frac{11}{5}$时，
方程x²-2ax+a+2=0有不同的两根且两根在（1，3）内．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于中档题．