Question

9．已知定义域为R的函数f（x），对任意的x∈R，均有f（x+1）=f（x-1），且x∈（-1，1]时，有f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+2，x∈[{0，1}]}\\{2-{x^2}，x∈（{-1，0}）}\end{array}}$，则方程f（f（x））=3在区间[-3，3]上的所有实根之和为3．

Answer 1

分析 计算f（x）的周期，做出f（x）的函数图象，根据函数图象判断f（x）=3，从而得出x的值．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），∴f（x）是以2为周期的函数．
做出f（x）的函数图象如图所示：

∵f（f（x））=3，∴f（x）=1+2k，k∈Z．
∵1＜f（x）≤3，
∴f（x）=3，
∵x∈[-3，3]，
∴x=-1或x=1或x=3．
f（f（x））=3在[-3，3]内的所有跟之和为（-1）+1+3=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了函数零点的判断，周期函数的应用，属于中档题．