Question

4．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，（a，b，c均为非零整数），且f（a）=a³，f（b）=b³，a≠b，则c=（　　）

• A． 16
• B． 8
• C． 4
• D． 1

Answer 1

分析 由f（a）=a³，f（b）=b³ 列出等式化简即b=1-a-$\frac{1}{a+1}$，因为b为整数，得出a=-2，从而求出b与c值．

解答 解：由已知得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}+{a}^{3}+ba+c={a}^{3}①}\\{{b}^{3}+a{b}^{2}+{b}^{2}+c={b}^{3}②}\end{array}\right.$，
①-②化简得：a（a+b）（a-b）+b（a-b）=0，
b=-a（a+b），即b=1-a-$\frac{1}{a+1}$，
a，b，c均为非零整数且 a≠b，得$\frac{1}{a+1}$为整数，所以a=-2，
所以a=-2，b=4，
∵f（-2）=-8⇒c=16．
故选：A

点评 本题主要考查了函数的基本运算化简，以及对题意的充分理解，属中等题．