某工艺品厂要设计一个如图Ⅰ所示的工艺品.现有某种型号的长方形材料如图Ⅱ所示.其周长为4m.这种材料沿其对角线折叠后就出现图Ⅰ的情况．如图.ABCD为长方形的材料.沿AC折叠后AB'交DC于点P.设△ADP的面积为S2.折叠后重合部分△ACP的面积为S1．(Ⅰ)设AB=xm.用x表示图中DP的长度.并写出x的取值范围,(Ⅱ)求面积S2最大时.应怎样设计材料的长和� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．

某工艺品厂要设计一个如图Ⅰ所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图Ⅱ所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图Ⅰ的情况．如图，ABCD（AB＞AD）为长方形的材料，沿AC折叠后AB'交DC于点P，设△ADP的面积为
S₂，折叠后重合部分△ACP的面积为S₁．
（Ⅰ）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（Ⅱ）求面积S₂最大时，应怎样设计材料的长和宽？
（Ⅲ）求面积（S₁+2S₂）最大时，应怎样设计材料的长和宽？

分析（Ⅰ）设AB=xm，利用△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x-y，结合PA²=AD²+DP²，即可用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（Ⅱ）利用基本不等式求面积S₂最大时，设计材料的长和宽；
（Ⅲ）求面积（S₁+2S₂），利用导数确定函数的单调性，即可得出最大时，设计材料的长和宽．

解答解：（Ⅰ）由题意，AB=x，BC=2-x，
因为x＞2-x，故1＜x＜2．…（2分）
设DP=y，则PC=x-y，
因为△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x-y，
由PA²=AD²+DP²，得（x-y）²=（2-x）²+y²，$y=2（{1-\frac{1}{x}}），1＜x＜2$．…（4分）
（Ⅱ）记△ADP的面积为S₂，则${S_2}=（{1-\frac{1}{x}}）（{2-x}）$…（5分）
=$3-（{x+\frac{2}{x}}）≤3-2\sqrt{2}$，
当且仅当$x=\sqrt{2}∈（{1，2}）$时，S₂取得最大值．…（7分）
故当材料长为$\sqrt{2}m$，宽为$（{2-\sqrt{2}}）m$时，S₂最大．…（8分）
（Ⅲ）${S_1}+2{S_2}=\frac{1}{2}x（{2-x}）+（{1-\frac{1}{x}}）（{2-x}）=3-\frac{1}{2}（{{x^2}+\frac{4}{x}}）$，1＜x＜2．
于是$（{{S_1}+2{S_2}}）'=-\frac{1}{2}（{2x-\frac{4}{x^2}}）=\frac{{-{x^3}+2}}{x^2}=0$，∴$x=\root{3}{2}$．…（11分）
关于x的函数（S₁+2S₂）在$（{1，\root{3}{2}}）$上递增，在$（{\root{3}{2}，2}）$上递减，
所以当$x=\root{3}{2}$时，S₁+2S₂取得最大值．…（12分）
故当材料长为$\root{3}{2}$m，宽为$（{2-\root{3}{2}}）$m时，S₁+2S₂最大．…（13分）

点评本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式，导数知识的运用，确定函数的表达式是关键．

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