Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-（{2m+1}）{x^2}+3m（{m+2}）x+1$，其中m为实数．
（Ⅰ）当m=-1时，求函数f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把m=-1代入函数解析式，求出函数的导函数，得到函数的单调区间，求出极值，再求出f（-4）与f（4）的值，比较得答案；
（Ⅱ）求出函数的导函数并因式分解，然后分3m=m+2，3m＞m+2，3m＜m+2三类求得函数的单调递增区间．

解答 解：（Ⅰ）当m=-1时，$f（x）=\frac{1}{3}{x^2}+{x^2}-3x+1$，f'（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），…（1分）
当x＜-3或x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当-3＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；…（2分）
∴当x=-3时，f（x）_极大值=10；当x=1时，$f{（x）_{极小值}}=-\frac{2}{3}$…（3分）
又$f（{-4}）=\frac{23}{3}$，$f（4）=\frac{79}{3}$，…（4分）
∴函数f（x）在[-4，4]上的最大值为$\frac{79}{3}$，最小值为$-\frac{2}{3}$，…（5分）；
（Ⅱ）f'（x）=x²-2（2m+1）x+3m（m+2）=（x-3m）（x-m-2），…（6分）
当3m=m+2，即m=1时，f'（x）=（x-3）²≥0，∴f（x）单调递增；…（7分）
当3m＞m+2，即m＞1时，由f'（x）=（x-3m）（x-m-2）＞0，可得x＜m+2或x＞3m；
∴此时f（x）的增区间为（-∞，m+2），（3m，+∞），…（9分）
当3m＜m+2，即m＜1时，由f'（x）=（x-3m）（x-m-2）＞0，可得x＜3m或x＞m+2；
∴此时f（x）的增区间为（-∞，3m），（m+2，+∞）．…（11分）
综上所述：当m=1时，f（x）的增区间为（-∞，+∞）；
当m＞1时，f（x）的增区间为（-∞，m+2），（3m，+∞）；
当m＜1时，f（x）的增区间为（-∞，3m），（m+2，+∞）．…（12分）

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．