Question

20．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x），且当x∈[-2，0]时，$f（x）=2-{（{\frac{1}{2}}）^x}$，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（0＜a＜1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{2}}）$
• B． $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{4}}）$
• C． $（{\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\frac{1}{2}}）$
• D． $（{\frac{1}{2}，1}）$

Answer 1

分析 由f（x+4）=f（x），推出函数的周期是4，根据函数f（x）是偶函数，得到函数f（x）在一个周期内的图象，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合确定满足的条件即可得到结论．

解答 解：由f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期为4，
∵当x∈[-2，0]时，$f（x）=2-{（{\frac{1}{2}}）^x}$=2-2^-x，
∴若x∈[0，2]，则-x∈[-2，0]，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=2-2^x=f（x），
即f（x）=2-2^x，x∈[0，2]，
由f（x）-log_a（x+2）=0得f（x）=log_a（x+2），
作出函数f（x）的图象如图：
当a＞1时，要使方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数根，
则等价为函数f（x）与g（x）=log_a（x+2）有3个不同的交点，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{g（2）＞f（2）}\\{g（6）＜f（6）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{a}4＞2-4}\\{{log}_{a}8＜2-4}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{\sqrt{2}}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$
故a的取值范围是（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{1}{2}$），
故选：C．

点评 本题主要考查函数零点的个数判断，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用分段函数的表达式，作出函数f（x）的图象是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．