Question

12．已知A，B分别为椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当$\frac{a}{b}-\frac{1}{3mn}$取最大值时，椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），则Q（x₀，-y₀），求出y₀²．通过A（-a，0），B（a，0），利用斜率计算公式得到：mn的表达式，化简$\frac{a}{b}-\frac{1}{3mn}$，利用二次函数最值求解即可．

解答 解：设P（x₀，y₀），则Q（x₀，-y₀），y₀²=$\frac{{b}^{2}（{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）}{{a}^{2}}$．
A（-a，0），B（a，0），
则m=$\frac{{y}_{0}}{a+{x}_{0}}$，n=$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$，
∴mn=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{a}{b}-\frac{1}{3mn}$=$\frac{a}{b}-\frac{{a}^{2}}{3{b}^{2}}$=-（$\frac{a}{b}$-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$
可知：当$\frac{a}{b}$=$\frac{3}{2}$时，表达式取得最大值，∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{9}$．可得$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{9}$，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．