Question

7．某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf（x），其中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{25}+2，（{0＜x≤5}）\\ \frac{x+19}{2x-2}，（{x＞5}）\end{array}$，当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．
（Ⅰ）如果投放的药剂质量为m=5，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
（Ⅱ）如果投放的药剂质量为m，为了使在9天（从投放药剂算起包括9天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定m=5，利用分段函数，解不等式，即可求得结论；
（Ⅱ）由题意，?x∈（0，9]，结合函数解析式，确定函数单调性，求出其服务，即可求出投放的药剂质量m的最小值．

解答 解：（Ⅰ）当m=5时，$y=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{5}+10，（{0＜x≤5}）\\ \frac{5x+95}{2x-2}，（{x＞5}）\end{array}\right.$，…（2分）
当0＜x≤5时，$\frac{x^2}{5}+10≥5$显然符合题意；…（3分）
当x＞5时，由$\frac{5x+95}{2x-2}≥5$可得5＜x≤21；…（5分）
综上0＜x≤21，所以自来水达到有效净化一共可持续21天…（6分）
（Ⅱ）由$y=mf（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{{m{x^2}}}{25}+2m，（{0＜x≤5}）\\ \frac{{m（{x+19}）}}{2x-2}，（{x＞5}）\end{array}\right.$…（7分）
当0＜x≤5时，$y=\frac{{m{x^2}}}{25}$+2m在区间（0，5]上单调递增，所以2m＜y≤3m；…（2分）
当x＞5时，$y'=\frac{-40m}{{{{（{2x-2}）}^2}}}＜0$，所以函数在（5，9]上单调递减，从而得到$\frac{7m}{4}≤y＜3m$，
综上可知：$\frac{7m}{4}≤y≤3m$，…（11分）
为使5≤y≤10恒成立，只要$\left\{\begin{array}{l}\frac{7m}{4}≥5\\ 3m≤0\end{array}\right.$即可，
所以$\frac{20}{7}≤y≤\frac{10}{3}$，…（12分）
所以应该投放的药剂质量m的最小值为$\frac{20}{7}$．…（13分）

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查学生解不等式的能力，确定函数模型是关键．