Question

17．设f（x）=x²-2ax+2a．
（1）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值是-3，求a的值；
（2）若不等式f（x）＞0对于任意的x∈[-2，-1]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）判断对称轴x=2a与区间[1，2]的位置关系，分类讨论求a值；
（2）不等式f（x）＞0对于任意的x∈[-2，-1]恒成立即转化为即$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}^{2}}{x-1}$）＜a 在任意的x∈[-2，-1]时左边函数的最大值．

解答 解：一元二次函数开口朝上，对称轴为x=2a；
（1）①当2a≤1，即a$≤\frac{1}{2}$时，最小值为f（1）=1-2a+2a=0，与题意不符，舍去；
②当1＜2a＜2，即$\frac{1}{2}$＜a≤1时，最小值为f（2a）=4a²-4a²+2a=2a=-3，解得a=-$\frac{3}{2}$，与题意不符，舍去；
③当2a≥2，即a＞1时，最小值为f（2）=4-4a+2a=4-2a=-3，解得a=$\frac{7}{2}$，满足题意；
综上可知，a=$\frac{7}{2}$．
（2）∵x∈[-2，-1]，f（x）=x²-2ax+2a＞0，
化简后：$\frac{{x}^{2}}{2x-2}$＜a，即$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}^{2}}{x-1}$）＜a；
令h（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$；
换元t=$\frac{1}{x}$∈[-1，-$\frac{1}{2}$]，得：g（t）=t-t²，g（t）在t∈[-1，-$\frac{1}{2}$]上单调递增，
故g（t）∈[-2，-$\frac{3}{4}$]⇒$\frac{1}{2}$×$\$ $\frac{{x}^{2}}{x-1}$∈[-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{4}$]；
所以，a≥-$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了一元二次函数的基本图形性质，以及分离参数法与恒成立问题，属中等题．