Question

7．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：

X	1	2	3	4
Y	51	48	45	42

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量Y的分布列．

Answer 1

分析 （1）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；
（2）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列．

解答 解：（1）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有${C}_{3}^{1}{•C}_{12}^{1}=36$种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为$\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$，
（2）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列
∵P（Y=51）=P（X=1），P（Y=48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）
∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可．
记n_k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n₁=2，n₂=4，n₃=6，n₄=3
由P（X=k）=$\frac{nk}{N}$得P（X=1）=$\frac{2}{15}$，P（X=2）=$\frac{4}{15}$，P（X=3）=$\frac{6}{15}$，P（X=4）=$\frac{3}{15}$
∴所求的分布列为

Y	51	48	45	42
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{6}{15}$	$\frac{3}{15}$

数学期望为E（Y）=$51×\frac{2}{15}+48×\frac{4}{15}+45×\frac{6}{15}+42×\frac{3}{15}=46$．

点评 本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．