Question

19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsinB-asinA=$\frac{3}{2}$asinC，且△ABC的面积为a²sinB，则cosB=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由已知利用三角形面积公式可求c=2a，利用正弦定理化简已知等式可得b²=a²+$\frac{3}{2}$ac=4a²，进而利用余弦定理即可解得cosB的值．

解答 解：由△ABC的面积为a²sinB，得$\frac{1}{2}$acsinB=a²sinB，即c=2a，
由bsinB-asinA=$\frac{3}{2}$asinC，得b²=a²+$\frac{3}{2}$ac=4a²，
由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．