Question

10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边a，b，c且a＞c，已知c•acosB=2，cosB=$\frac{1}{3}$，b=3，求：
（1）a和c的值；
（2）cos（B-C）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由c•acosB=2，得ac=6．再由余弦定理能求出结果．
（Ⅱ）在△ABC中，求出sinB，由正弦定理，求出sinC，由此能求出cos（B-C）的值．

解答 解：（Ⅰ）由c•acosB=2，$cosB=\frac{1}{3}$得，所以ac=6．
由余弦定理，得a²+c²=b²+2accosB．
又b=3，所以a²+c²=9+2×2=13．
解$\left\{\begin{array}{l}ac=6\\{a^2}+{c^2}=13\end{array}\right.$，得a=2，c=3或a=3，c=2．
因为a＞c，∴a=3，c=2．
（Ⅱ）在△ABC中，$sinB=\sqrt{1-{{cos}^2}B}=\sqrt{1-{{（{\frac{1}{3}}）}^2}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
由正弦定理，得$sinC=\frac{c}{b}sinB=\frac{2}{3}•\frac{{2\sqrt{2}}}{3}=\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$，
又因为a=b＞c，所以C为锐角，
因此$cosC=\sqrt{1-{{sin}^2}C}=\sqrt{1-{{（{\frac{{4\sqrt{2}}}{9}}）}^2}}=\frac{7}{9}$．
于是$cos（{B-C}）=cosBcosC+sinBsinC=\frac{1}{3}•\frac{7}{9}+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}•\frac{{4\sqrt{2}}}{9}=\frac{23}{27}$．

点评 本题考查三角形的边长的求法，考查两角差的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、三角函数性质的合理运用．