Question

18．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$．当x∈[0，1）时，f（x）=2^x+1．给出下列命题：
①f（2013）+f（-2014）=$\frac{5}{2}$；             
②f（x）是定义域上周期为2的周期函数；
③直线y=8x与函数y=f（x）图象只有1个交点； 
④y=f（x）的值域为（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]∪[2，4）
其中正确命题的序号为：①③④．

Answer 1

分析 ①②，当x≥0时，f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$⇒T=2，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（2013）+f（-2014）=f（2013）+f（2014）=f（1）+f（0）=$\frac{1}{f（0）}$+f（0）=$\frac{5}{2}$，
③，直线y=8x在区间[0，1）递增，值域为[0，8），函数y=f（x）在区间[0，1）递增，值域为[0，4），依据图象可得只有1个交点；
④，当x∈[1，2）时，x-1∈[0，1），f（x）=$\frac{1}{f（x-1）}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$．

解答 解：当x≥0时，f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$⇒T=2，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（2013）+f（-2014）=f（2013）+f（2014）=f（1）+f（0）=$\frac{1}{f（0）}$+f（0）=$\frac{5}{2}$，
①故正确，②错；对于③，直线y=8x在区间[0，1）递增，值域为[0，8），函数y=f（x）在区间[0，1）递增，值域为[0，4），依据图象可得只有1个交点，故正确；
对于④，当x∈[1，2）时，x-1∈[0，1），f（x）=$\frac{1}{f（x-1）}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$∈（$\frac{1}{4}，\frac{1}{2}$]，故正确．
故答案：①③④．

点评 本题考查了函数的奇偶性、周期、值域等基本性质，属于基础题．