Question

15．函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（m+1）x²+2（m-1）x在（0，4）上无极值，则m=3．

Answer 1

分析 函数f（x）在（0，4）上无极值即导函数f'（x）在（0，4）上无根，f'（x）=x²-（m+1）x+2（m-1）在（0，4）上恒有f'（x）≥0．

解答 解：函数f（x）在（0，4）上无极值即导函数f'（x）在（0，4）上无根．
f'（x）=x²-（m+1）x+2（m-1）在（0，4）上恒有f'（x）≥0 ①；
当m-1＞2时，①式解为x≤2 或 x≥m-1；显然x∈（0，4）时，①式不成立；
当m-1＜2时，①式解为x≤m-1或x＞2；显然x∈（0，4）时，①式不成立；
当m-1=2时，①式解为x=2，m=3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查了导函数零点与极值关系，以及二次函数在特定区间求值，属中等题．